W odpowiedzi na post, który dodaliśmy wczoraj na naszym fanpagu, postaramy wam się w tym miejscu wyjaśnić dlaczego 0,(9) jest równe 1. Tak, wiemy… Takie stwierdzenie wydaje się zaskakujące a my zaraz zostaniemy okrzyknięci swojego rodzaju heretykami matematycznymi, jednak dowodów na prawdziwość tej tezy jest co niemiara. Nie przypisujemy sobie autorstwa tych twierdzeń a jedynie objaśnimy na czym wic polega :) Tak więc zaczynamy!
Podstawowe rozwinięcia dziesiętne okresowe
Poniżej lista podstawowych rozwinięć dziesiętnych okresowych:
1/9 = 0,(1)
2/9 = 0,(2)
3/9 = 0,(3)
4/9 = 0,(4)
5/9 = 0,(5)
6/9 = 0,(6)
7/9 = 0,(7)
8/9 = 0,(8)
Jak widać zasada tworzenia takich liczb jest dość prosta. Powstają one z ułamka, w którym w mianowniku jest liczba 9 natomiast w liczniku wpisujemy taką liczbę jaką chcemy uzyskać w rozwinięciu dziesiętnym okresowym. Wynik prosto można sprawdzić na kalkulatorze wykonując właśnie to dzielenie, czyli np.: 6 : 9 = 0,(6). Jeśli na kalkulatorze wyjdzie Ci np.: 0,6666666667 nie oznacza to, że kalkulator się pomylił :) Część urządzeń ma ustawione automatycznie, że takie rozwinięcia jak i inne duże ułamki dziesiętne ma zaokrąglać do ostatniej cyfry jaką jest w stanie wyświetlić.
Co dalej?
Idąc dalej napotykamy na dziwną sytuację z której wychodziłoby, że 9/9 to to samo co 0,(9). Każdy jednak wie, że to jest równe 1! Ponieważ 9 dzielone na 9 to 1 i żadnej filozofii tu nie ma. Owszem, masz rację, jednak 1 to także ta sama liczba co 0,(9).
Pokażę Ci jedno z najpopularniejszych udowodnień tego zagadnienia opisując proste równanie:
X = 0,(9)
- zakładamy równanie w którym x wynosi 0,(9)
X = 0,(9) /*10
10x = 9,(9)
Korzystając z prawa, że z równaniem mogę robić co chcę jeśli operacje wykonuję na dwóch jego stronach postanawiam pomnożyć lewą i prawą stronę przez liczbę 10. X * 10 daje 10x natomiast z prawej strony przesuwamy przecinek o jeden w prawo. Okres nam się nie traci, po prostu wzięliśmy sobie z nieskończonej liczby 9 jedną cyfrę przed znak okresu przesuwając nasz przecinek podczas mnożenia.
10x = 9 + 0,(9)
Rozbijamy sobie prawą stronę na dwie osobne liczby. Nadal jest to prawda i taka operacja jest dozwolona.
10x = 9 + x
I tu robimy najciekawszą rzecz. Ponieważ na samym początku powiedzieliśmy sobie że X wynosi 0,(9) (czyli, że są to te same wartości o czym w końcu informuje nas znak równości) mamy pełne prawo używać tych dwóch zapisów zamiennie. Postanowiliśmy więc w miejsce 0,(9) wpisać literę X.
10x – x = 9
Przerzucamy stronami – x z prawej strony wędruje na lewo z przeciwnym znakiem.
9x = 9 /:9
X = 1
Dzielimy obustronnie przez 9 i otrzymujemy x = 1.
Wnioski?
Skoro w pierwszej linii powiedzieliśmy sobie, że x = 0,(9) a w wyniku końcowym równania uzyskujemy x = 1 możliwy jest więc zapis, że 1 = 0,(9). Udowodnień i obliczeń na to jest bardzo dużo, my przedstawiliśmy wam tylko najpopularniejszą metodę. Metoda nie zawiera żadnych błędów, co możecie sobie jako zadanie domowe sprawdzić na dowolnym rozszerzeniu dziesiętnym opisanym w tym wpisie. Pamiętajcie, matematyka bywa niekiedy niezrozumiała i zdziwi was pewnie jeszcze nie raz :) Jeden z przykładów prezentujemy poniżej a my zapraszamy do czytania kolejnych artykułów!
X = 0,(7) /*10
10x = 7,(7)
10x = 7 + 0,(7)
10x = 7 + x
10x – x = 7
9x = 7 /:9
X = 7/9 (wynik zgadza się z rozpiską na początku artykułu)
Komentarze